نماذج الانحدار الذاتي المتوسط المتحرك واستخداماتها في التنبؤ

الفصل الثاني
نماذج الإنحدار الذاتي_المتوسط المتحرك Autoregressive-Moving Average Models وإستخداماتها في التنبؤ:

هناك عائلة كبيرة من النماذج التي يطلق عليها نماذج الإنحدار الذاتي_المتوسط المتحرك Autoregressive-Moving Average Models والتي اثبتت الأبحاث الكثيرة في مختلف الميادين التطبيقية علي تفوقها الهائل علي الطرق التقليدية في التنبؤ.

تعريف 14: نموذج الإنحدار الذاتي_المتوسط المتحرك من الدرجة ويرمز له لمتسلسلة زمنية مشاهدة يكتب علي الشكل:

حيث متسلسلة ضجة بيضاء و معلم ثابت يمثل المستوي و هي معالم الإنحدار الذاتي Autoregressive Parameters و هي معالم المتوسط المتحرك Moving Average Operators

سوف نستعين بجبر العمال Operators Algebra لتبسيط هذه النماذج لكي يسهل التعامل معها

تعريف 15: عامل الإزاحة الخلفي Backshift Operator ويرمز له وله الخواص التالية:


بالإضافة الي عامل الإزاحة الخلفي توجد عمال اخري نحتاج اليها لاحقا هي:

تعريف 15 ب:
1- عامل الإزاحة الأمامي Forewardshift Operator ويرمز له ويعرف كالتالي:
2- عامل التفريق Difference Operator ويرمز له ويعرف كالتالي:
3- عامل التجميع Sum Operator ويرمز له ويعرف كالتالي:

الآن نعود الي نموذج الإنحدار الذاتي_المتوسط المتحرك من الدرجة ونكتبه علي الشكل:

أو

حيث هو عامل الإنحدار الذاتي Autoregressive Operator و هو عامل المتوسط المتحرك Moving Average Operator

أمثلة:
1- نموذج المتوسط الثابت Constant Mean Model ويرمز له ويكتب علي الشكل:

او

2- نموذج الإنحدار الذاتي من الدرجة الاولي وهو علي الشكل:


3- نموذج المتوسط المتحرك من الدرجة الاولي وهو علي الشكل:


4- نموذج الإنحدار الذاتي من الدرجة الثانية وهو علي الشكل:


5- نموذج الإنحدار الذاتي_المتوسط المتحرك من الدرجة (1و1) ونكتبه علي الشكل:


خصائص نماذج الإنحدار الذاتي_المتوسط المتحرك:

سوف ندرس الخصائص الإحصائية التي تميز نماذج الإنحدار الذاتي_المتوسط المتحرك ومعرفة كيفية التعرف علي احد هذه النماذج من عينة مشاهدة وذلك لتعيين او تحديد نموذج مناسب يصف المشاهدات.

أولا: نموذج المتوسط الثابتARMA(0,0):
ويكتب علي الشكل

او

سوف نشتق الخواص الإحصائية لهذا النموذج وذلك بإيجاد التوقع (المتوسط) ودالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي كالتالي:

وذلك لأن
سوف نرمز لمتوسط المتسلسلة بالرمز أي وبالتالي يكون ويكتب النموذج:

لإشتقاق دالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي نضرب طرفي المعادلة السابقة في ونأخذ التوقع أي

ولكن من تعريف 8 إذا

ونحل هذه العلاقة تكراريا:

لإيجاد الطرف الأيمن نضرب طرفي في ونأخذ التوقع أي

وذلك لأن إذا


وذلك لأن

في الحقيقة فإن

أي

قاعدة 1:


أي

وتوضع علي شكل دالي:

وبالقسمة علي نجد


ولها الشكل التالي:















نشتق الآن دالة الترابط الذاتي الجزئي من التعريف 11 نجد



وتوضع علي شكل دالي:

ولها الشكل التالي:








ملاحظة: نموذج المتوسط الثابت لايفترق عن نموذج الضجة البيضاء الا في ان له متوسط غير صفري

ثانيا: نموذج الإنحدار الذاتي من الدرجة الاولي ARMA(1,0) = AR(1)
وهو علي الشكل:


كالنموذج السابق سوف نوجد التوقع (المتوسط) ودالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي:

الحد الثاني في الطرف الأيمن هو

لإدخال التوقع علي المجموع اللآنهائي يجب ان تكون المتسلسلة اللآنهائية متقاربة وذلك يتحقق إذا كانت وذلك إذا اعتبرنا العامل الآن يلعب دور متغير مركب Complex Variable له الشكل وله القياس في الحقيقة لابد ان نتطلب ان تكون جزور او اصفار خارج دائرة الوحدة أي أي

وهذا هو شرط الإستقرار. نعود الي العلاقة

ويكون


او

وبالتعويض عن في صيغة النموذج نجد

نضرب طرفي المعادلة السابقة في ونأخذ التوقع أي

أي

وذلك من تعريف 8 و تحل هذه العلاقة تكراريا كما يلي:

لإيجاد الطرف الأيمن نقوم بالتالي:

إذا


في الحقيقة

بقسمة المعادلة الأخيرة علي نجد

أو

وبما ان فإن:


أو بشكل دالة

وذلك لأن سوف ننظر من الآن وصاعدا للشق الموجب من أي

هذه الدالة لها الشكل التالي:
1- عندما تكون













2- عندما تكون












نشتق الآن دالة الترابط الذاتي الجزئي
من تعريف 11 نجد


محددة البسط تساوي صفرا لأن العامود الأخير يساوي العامود الأول مضروبا في ونكتب دالة الترابط الذاتي الجزئي علي الشكل الدالي:

ولها الشكل التالي:
1- عندما تكون












2- عندما تكون















ملاحظة: دائما لاترسم أي من او في الأشكال البيانية.
مناقشة النموذج:
1- عندما تكون (شرط الإستقرار) فإن وهوثابت لجميع قيم
2- دالة الترابط الذاتي دالة للتخلف فقط ولاتعتمد علي الزمن
3- دالة الترابط الذاتي تتخامد اسيا في إتجاه واحد إبتداءا من عندما تكون وتتخامد اسيا مترددة بين القيم الموجبة والسالبة عندما تكون
4- دالة الترابط الذاتي الجزئي لها قيمة واحدة غير صفرية ( مع عدم النظر الي ) ويكون إتجاهها حسب إشارة ومقدارها يساوي


ثالثا: نموذج الإنحدار الذاتي من الدرجة الثانية ARMA(2,0) = AR(2) :
ويكتب علي الشكل:

كالسابق نوجد المتوسط ودالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي:

الحد الثاني في الطرف الأيمن مجموع لانهائي على الشكل ولكي ندخل التوقع داخل التجميع اللانهائي لابد ان تكون متقاربة في المتوسط المربع وهذا يتحقق إذا وفقط إذا كان وهذا يتحقق إذا حققت معالم الإنحدار الذاتي الشروط التالية:

والتي تسمي بشروط الإستقرار ( هذه الشروط تنتج ايضا من كون جزور او أصفار خارج دائرة الوحدة ) . إذا تحققت شروط الإستقرار فإن

ويكون

و بالتعويض عن في صيغة النموذج نجد

نضرب المعادلة السابقة في ونأخذ التوقع نجد:

أي


أو

وذلك من تعريف 8 الآن نحل هذه العلاقة تكراريا كما يلي:

وذلك من قاعدة 1


وبشكل عام

بقسمة الطرفين علي نجد

( ملاحظة: بوضع المعادلة السابقة علي الشكل نجد انها معادلة فروقية من الدرجة الثانية والتي يمكن حلها بشكل مغلق بإستخدام طرق حل المعادلات الفروقية ولكن هذا خارج نطاق المقرر الحالي)
سوف نحل العلاقة السابقة بالطريقة التكرارية والتي تحتاج الي قيمتين اوليتين:

ومنها نجد

وهكذا الخ…


الأشكال التالية هي لدوال الترابط الذاتي لعملية
1- الشكل (1)
2- الشكل (2)
3- الشكل (3)

شكل (1)














شكل (2)













شكل (3)











الآن نشتق دالة الترابط الذاتي الجزئي لعملية كالتالي:



وذلك لأن العمود الأخير في محددة البسط هو تركيب خطي من العمودين الأول والثاني، كذلك

وذلك ايضا لنفس السبب السابق. إذا


الأشكال التالية هي لدوال الترابط الذاتي الجزئي لعملية
4- الشكل (4)
5- الشكل (5)
6- الشكل (6)

شكل (4)







شكل (5)












شكل (6)












رابعا: نموذج المتوسط المتحرك من الدرجة الأولي ARMA(0,1) = MA(1) :
وتكتب علي الشكل:

الآن نوجد المتوسط ودالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي:


ونكتب النموذج

بضرب هذه المعادلة في وأخذ التوقع نجد

او

وبحلها تكراريا

نوجد كل من و كالآتي:




وذلك بإستخدام القاعدة 1

أيضا من قاعدة 1 وبشكل عام فإن

وهكذا فإن دالة الترابط الذاتي لنموذج المتوسط المتحرك من الدرجة الأولي هي علي الشكل:

ولها الشكل التالي:
1- عندما












2- عندما













الآن نشتق دالة الترابط الجزئي لنموذج المتوسط المتحرك من الدرجة الأولي


وبشكل عام



ولها الشكل التالي:
1- عندما عندما




















2- عندما














خامسا: نموذج المتوسط المتحرك من الدرجة الثانية ARMA(0,2) = MA(2) :
وتكتب علي الشكل:

الآن نوجد المتوسط ودالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي:


ونكتب النموذج

بضرب هذه المعادلة في وأخذ التوقع نجد

او

وبحلها تكراريا نجد

وبالقسمة علي نجد

وتكتب علي شكل دالة


الأشكال التالية هي لدوال الترابط الذاتي لعملية
7- الشكل (7)
8- الشكل (
9- الشكل (9)




شكل (7)














شكل (













شكل (9)













من الصعب جدا إيجاد شكل مغلق لدالة الترابط الذاتي الجزئي لنموذج المتوسط المتحرك من الدرجة الثانية ولهذا سوف نستخدم تعريف 11 ب لحسابها ورسمها تكراريا لقيم المعالم التالية:
10- الشكل (10)
11- الشكل (11)
12- الشكل (12)



شكل (10)
















شكل (11)















شكل (12)