السلاسل الزمنية مقدمة وتعاريف

الفصل الأول
مقدمة وتعاريف

تعريف 1: المتسلسلة الزمنية Time Series
متتابعة من القيم المشاهدة لظاهرة عشوائية مرتبة مع الزمن ( او مرتبة مع المكان )

امثلة على المتسلسلات الزمنية:
1- سعر اقفال سهم بنك الرياض يوميا.
2- عدد الوحدات المطلوبة اسبوعيا من انتاج سلعة معينة.
3- حجم المبيعات شهريا من سلعة ما.
4- حجم الإنتاج اليومي للنفط الخام بالمملكة.

والغرض من دراسة وتحليل المتسلسلات الزمنية هو:
1- فهم ونمذجة عشوائية الظاهرة المشاهدة.
2- التنبؤ عن القيم المستقبلية للظاهرة العشوائية.
3- التحكم بالظاهرة العشوائية إذا امكن ذلك.

الشكل التالي لمتسلسلة زمنية مشاهدة وهي عبارة عن الإنتاج اليومي للحليب بالرطل لبقرة ما














الخطوات المتخذة لبناء نموذج تنبؤ:
إن إيجاد نموذج مناسب تنطبق علية متسلسلة زمنية مشاهدة يعتبر من المهام الصعبة والتي تحتاج الى الكثير من البحث والخبرة. سوف نستعرض بعض الخطوات العريضة لبناء نموذج رياضي للتنبؤ عن متسلسلة زمنية ما:
1- تعيين النموذج أو تحديد النموذج Model Identification : وهذا يتم برسم المتسلسلة الزمنية فيما يسمى Time Plot حيث يكون الإحداثي الافقي هو الزمن والرأسي حجم الظاهرة المشاهدة ومن ثم إختيار نموذج رياضي معتمدين علي بعض المقاييس الإحصائية التى تميز نموذج عن آخر وعلى الخبرة المستمدة من الدراسات والابحاث.
2- تطبيق النموذج Model Fitting : بعد ترشيح نموذج او اكثر كنموذج مناسب لوصف المتسلسلة المشاهدة نقوم بتقدير معالم هذا النموذج من البيانات المشاهدة بإستخدام طرق التقدير الإحصائي الخاصة بالمتسلسلات الزمنية وهذا النموذج المرشح يؤخذ كنموذج اولي قابل للتعديل لاحقا.
3- تشخيص وإختبار النموذج Model Diagnostics : إجراء إختبارات تفحصية على أخطاء التطبيق Fitting Errors لمعرفة مدى تطابق المشاهدات مع القيم المحسوبة من النموذج المرشح ومدى صحة فرضيات النموذج. في حالة إجتياز النموذج المرشح لهذه الإختبارات نقوم بإعتمادة على انه النموذج النهائي ويستخدم لتوليد تنبؤات للقيم المستقبلية وإلا نعود للخطوة الاولى لتعيين نموذج جديد.
4- توليد التنبؤات Forecast Generation : يستخدم النموذج النهائي لتوليد تنبؤات عن القيم المستقبلية ومن ثم حساب أخطاء التنبؤ Forecast Errors كلما استجدت قيم جديدة مشاهدة من المتسلسلة الزمنية ومراقبة هذه الأخطاء فى ما يسمى بمخططات المراقبة Control Charts والتي توضع للقبول بنسبة خطأ معين إذا تجاوزتة أخطاء التنبؤ يعاد النظر في النموذج وتعاد الدورة من جديد بتحديد نموذج مرشح آخر.
5- إستخدام التنبؤات ووضع القرارات Implementation and Decision making: تقدم التنبؤات فى تقرير لصانعي القرار للنظر في إستخدامها بالشكل المناسب.

تعاريف ومبادئ اولية:
سوف نرمز للظاهرة العشوائية أو العملية العشوائية التي تولد المتسلسلة الزمنية بالرمز او اختصارا او ببساطة وللمتسلسلة الزمنية المشاهدة بالرمز

تعريف2: القيم تسمى بالماضى او تاريخ الظاهرة History

والتاريخ مهم جدا في عملية النمذجة

تعريف 3 : القيمة تسمى الحاضر او الآن

وهي المشاهدة الأخيرة .

تعريف 4: أخطاء التطبيق تعطى بالعلاقة حيث هي القيم المطبقة ( القيم التي نتحصل عليها من النموذج) وتسمي أيضا الرواسب Residuals

ويلاحظ ان اخطاء التطبيق نحصل عليها دفعة واحدة بعد تقدير النموذج.

ملاحظة: سوف نرمز للمشاهدات المستقبلية بالرموز او بشكل عام ونرمز لتنبؤاتها بالرمز او بشكل عام

تعريف 5: أخطاء التنبؤ تعطى بالعلاقة

وأخطاء التنبؤ تنتج الواحدة تلو الاخرى كلما تقدم الزمن وشوهدت القيم الحقيقية

تعريف 6: يقال ان المتسلسلة الزمنية المشاهدة مستقرة Stationary إذا حققت الشروط التالية:


الآن سوف نعرف متسلسلة زمنية مهمة جدا لكونها حجرة او طوب البناء Building Blocks لجميع النماذج التي سوف ندرسها

تعريف 7: متسلسلة الضجة البيضاء White Noise Series اوعملية الضجة البيضاء White Noise Process هي عبارة عن متتابعة من المشاهدات العشوائية غير المترابطة ( واحيانا نفترض انها متتابعة من المتغيرات العشوائية التي تكون مستقلة ولها توزيعات متطابقة Independent, Identically Distributed (IID) ) بمتوسط صفري وتباين ثابت أي:

ويرمز لها بالرمز

مثال1: متسلسلة المشي العشوائي Random Walk :
سوف نبني عملية عشوائية كالتالي:

أو

أي لو اعتبرنا ان هو حجم الخطوة التي تؤخذ الي الامام او الخلف عند الزمن فان هي موقع ماشي عشوائي عند الزمن

ملاحظة: هذه العملية او المتسلسلة من النماذج الهامة جدا التي تصف اسواق المال العالمية
تمرين: اوجد و لجميع قيم وهل العملية مستقرة؟


تعريف 8: دالة التغاير الذاتي Autocovariance Function وتعرف كالتالي:

وإذا عرفنا التخلف علي انه الفترة الزمنية التي تفصل بين وبين أو فإن دالة التغاير الذاتي تعطى بالعلاقة:


ملاحظة: سوف نستخدم التعريف الثاني دائما

تعريف 9: دالة الترابط الذاتي Autocorrelation Function (ACF) وتعرف كالتالي:


ولها الخواص التالية:

مثال 2: سوف نشتق الآن دالة الترابط الذاتي لعملية الضجة البيضاء
دالة التغاير الذاتي لعملية الضجة البيضاء هي:

وذلك من التعريف 7 ومنها نجد دالة الترابط الذاتي:


ولها الشكل التالي:










تعريف 10: دالة الترابط الذاتي الجزئي Partial Autocorrelation Function (PACF)
وتعطي مقدار الترابط بين و بعد إزالت تأثير الترابط الناتج من المتغيرات الواقعة بينهما ويرمز لها عند التخلف بالرمز وأحد طرق حسابها تقوم علي حساب معامل الإنحدار الجزئي في التمثيل:


حساب :

بضرب طرفي العلاقة بـ وأخذ التوقع نجد

أي

حيث ( بشكل عام كما سنبين لاحقا )
وبالقسمة علي نجد


تعريف 11: بشكل عام تعرف دالة الترابط الذاتي الجزئي كالتالي:


حيث ترمز الي محددة مصفوفة

التعريف السابق صعب الإستخدام لقيم الكبيرة ولهذا سوف نعطي تعريف آخر لحساب دالة الترابط الذاتي الجزئي تكراريا:


تعريف 11 ب: تحسب تكراريا من العلاقات



حيث

حساب :
من تعريف 11 ب:

وذلك لأن .

مثال 3: سوف نشتق الآن دالة الترابط الذاتي الجزئي لعملية الضجة البيضاء:
من تعريف 11 ب


وذلك من مثال 1 السابق
وبالتعويض في تعريف 11 ب عن نجد

وهكذا:

ولها الشكل التالي:








ملاحظة: لاحظ أن كل من دالتي الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي لعملية الضجة البيضاء تساوي الصفر من التخلف الأول. وهذه خاصية جميع المتغيرات العشوائية غير المترابطة او المستقلة. لإختبار عدم الترابط بين قيم مشاهدة لمتغير عشوائي تستخدم دالة الترابط الذاتي لذلك.

تعريف 12 : دالة الترابط الذاتي للعينة Sample Autocorrelation Function SACF لمسلسلة زمنية مشاهدة ويرمز لها بالرمز وتعطى بالعلاقة:

حيث

وهي مُقدِّر Estimator لدالة الترابط الذاتي أي وبما انها مُقدِّر فهي إذا تتغير عشوائيا من عينة لاخرى ولهذا فإن لها الخواص العينية التالية:
1- إذا كانت فإن

وفي الحالة الخاصة عندما فإن
2- لقيم الكبيرة و فإن يكون لها تقريبا توزيع طبيعي وبالتالي نستطيع القيام بالاختبار التالي:


وذلك بإستخدام الإحصائة:

وذلك عند مستوى معنوية وترفض إذا كانت
3- تحت الفرضية فإن

4- تُقدَّر التباينات لدالة الترابط الذاتي للعينة كالتالي:

تعريف 13: دالة الترابط الذاتي الجزئي للعينة Sample Partial Autocorrelation Function SPACF لمسلسلة زمنية مشاهدة ويرمز لها بالرمز تعطى بالعلاقة:


و لحساب دالة الترابط الذاتي الجزئي للعينة تكراريا:

تعريف 13 ب: تحسب تكراريا من العلاقات



حيث



وهي ايضا مقدَّر Estimator لدالة الترابط الذاتي الجزئي للعينة أي وبما انها مُقدِّر فهي إذا تتغير عشوائيا من عينة لاخرى ولهذا فإن لها الخواص العينية التالية:
1-
2- لقيم الكبيرة فإن يكون لها تقريبا توزيع طبيعي وبالتالي نستطيع القيام بالاختبار التالي:


وذلك بإستخدام الإحصائة:

وذلك عند مستوى معنوية وترفض إذا كانت
3- تحت الفرضية فإن

4- تُقدّر التباينات لدالة الترابط الذاتي للعينة كالتالي:


مثال 4: البيانات التالية تمثل الطلب علي منتج معين يوميا:
158 222 248 216 226 239 206 178 169

أحسب الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي للعينة وارسمهما:
اولا: نحسب المتوسط
ثانيا: نحسب الترابط الذاتي من العلاقة




وهكذا
ثالثا: نحسب التباينات من





الخ…
رابعا: نحسب الترابط الذاتي الجزئي للعينة:


ثم نحسب باقي الترابطات من العلاقات التكرارية

حيث


لحساب نحتاج الى وتحسب من




وهكذا نحسب باقي الترابطات الجزئية للعينة

ولها جميعا التباينات تساوي تقريبا
خامسا: رسم دوال الترابط الذاتي والترابط الذاتي الجزئي للعينة